axiac@web

Să se afle ultimele 4 cifre ale numărului

Problemă (de clasa a VI-a)

Să se afle ultimele 4 cifre ale numărului: S = 9^1 + 9^2 + 9^3 + … + 9^400

Soluție

Problemele de acest gen, în care se cere ultima cifră a unui număr mare, se rezolvă de obicei observând cum evoluează ultima cifră a puterilor consecutive ale numerelor implicate în relație. Să calculăm primele câteva puteri ale lui 9 și să vedem cum evoluează ultima lor cifră.

91 =      9
92 =     81
93 =    729
94 =  6 561
95 = 59 049
...

Observăm că pentru valorile pare ale lui k, ultima cifră a lui 9^k este 1 iar pentru cele impare ultima cifră este 9. Să reținem acest aspect, ne va folosi mai târziu.

Suma noastră S conține 200 de termeni de forma 9^k cu k impar și încă 200 de termeni cu k par, ultima cifră a lui S este în mod evident 0. Din păcate, asta e cam tot ce putem afla pe această cale.

Altă abordare

Să încercăm să-l descompunem pe S în factori:
S = 9^1 + 9^2 + 9^3 + … 9^400
S = 9 (1 + 9^1 + 9^2 + … 9^399)
S = 9 (9^400 - 1) / (9 - 1)

Folosind (de 4 ori) formula a^2 - b^2 = (a + b) * (a - b) îl descompunem pe S astfel:
S = 9 (9^200 + 1) (9^100 + 1) (9^50 + 1) (9^25 + 1) * (9^25 - 1) / 8

Pe 9^25 + 1 îl scriem ca (9^5)^5 + 1 și-l descompunem folosind formula:
a^n + b^n = (a + b) * (a^(n-1) - a^(n-2) * b^1 + a^(n-3) * b^2 … - a * b^(n-2) + b^(n-1))
(valabilă doar pentru n natural impar, n >= 3) în:
9^25 + 1 = (9^5 + 1) * (9^20 - 9^15 + 9^10 - 9^5 + 1)

Similar, folosind formula:
a^n - b^n = (a - b) * (a^(n-1) + a^(n-2) * b^1 + … + a^1 * b^(n-2) + b^(n-1))
(valabilă pentru orice n natural, n >= 2), pe 9^25 - 1 îl scriem ca:
9^25 - 1 = (9^5)^5 - 1 = (9^5 - 1) * (9^20 + 9^15 + 9^10 + 9^5 + 1)
și aplicând formula încă o dată pentru 9^5 - 1 obținem:
9^25 - 1 = (9 - 1) * (9^4 + 9^3 + 9^2 + 9^1 + 1) * (9^20 + 9^15 + 9^10 + 9^5 + 1)

Substituim expresiile calculate pentru (9^25 + 1) și (9^25 - 1) în formula lui S, simplificăm cu 8 avem:
S = 9 * (9^200+1) * (9^100+1) * (9^50+1) * (9^5+1) * (9^20-9^15+9^10-9^5+1) * (9^4+9^3+9^2+9^1+1) * (9^20+9^15+9^10+9^5+1)

Să luăm factorii pe rând și să le calculăm ultima cifră:

  1. 9 - ultima lui cifră este, evident, 9.
  2. (9^200 + 1), (9^100 + 1) și (9^50 + 1) - se termină cu cifra 2 deoarece 9 la putere pară se termină cu 1 după cum am văzut la începutul discuției. Îi putem scrie ca 2*A, 2*B și 2*C unde A, B și C se termină cu 1 sau 6 (singurele numere de o cifră care înmulțite cu 2 produc rezultate terminate în 2).
  3. (9^5 + 1) - 9^5 + 1 = 59 050 = 50 * 1811.
  4. (9^20 - 9^15 + 9^10 - 9^5 + 1) - să notăm acest factor cu T. Are ultima cifră 5 (1-9+1-9+1) deci este divizibil cu 5. Se poate scrie ca 5*D și deocamdată nu știm nimic despre D.
  5. (9^4 + 9^3 + 9^2 + 9^1 + 1) și (9^20 + 9^15 + 9^10 + 9^5 + 1) - îi vom nota cu E și F. Ambii au ultima cifră 1 (1+9+1+9+1).

Îl rescriem pe S folosind notațiile introduse mai sus:
S = 9 * 2*A * 2*B * 2*C * 1811*50 * 5*D * E * F
Grupăm convenabil factorii:
S = (2*2*50*5) * (9*2) * (A*B*C) (1811*E*F) * D
S = 1000 * (18*A*B*C) (1811*E*F) * D

Să analizăm factorii lui S din noua descompunere:

  1. 1000 - S este divizibil cu 1000, deci ultimele sale 3 cifre sunt 000;
  2. 18*A*B*C - A, B și C se termină cu 1 sau 6, produsul lor se va termina tot cu 1 (când toți trei se termină cu 1) sau cu 6 (altfel).
    1 * 8 = 8
    6 * 8 = 48
    Ultima cifră a acestui factor este 8.
  3. 1811*E*F - E și F se termină cu 1; ultima cifră a acestui factor este 1.
  4. D - Am notat mai sus T = 9^20 - 9^15 + 9^10 - 9^5 + 1 = 5 * D; va trebui să calculăm ultimele 2 cifre ale lui T pentru a afla ultima cifră a lui D.

Ultimele două cifre ale lui 9^20 - 9^15 + 9^10 - 9^5 + 1

Încercăm să-l aducem pe T la o formă în care să-i putem calcula ușor ultimele două cifre folosind tabelul de puteri ale lui 9 de la începutul textului.

T = 9^20 - 9^15 + 9^10 - 9^5 + 1
T = 9^15 * (9^5 - 1) + 9^5 * (9^5 - 1) + 1
T = 9^5 * (9^5 - 1) * (9^10 + 1) + 1
T = 9^5 * (9^5 - 1) * (9^5 * 9^5 + 1) + 1

Fie M și N două numere de cel puțin 2 cifre. Dacă notăm cu m și n numele formate de ultimele două cifre ale lui M și respectiv N atunci ultimele două cifre ale produsului m*n sunt și ultimele două cifre ale lui M*N (demonstația este evidentă).

Știm că 9^5 = 59 049. Folosim ultimele sale două cifre (49) pentru a calcula ultimele două cifre ale lui T. Să notăm cu U(x) numărul format de ultimele două cifre ale lui x.

U(T) = U(U(9^5) * U(9^5 - 1) * U(U(9^5) * U(9^5) + 1) + 1)
U(T) = U(49 * (49 - 1) * U(49 * 49 + 1) + 1)
U(T) = U(49 * 48 * U(2 402) + 1)
U(T) = U(2 352 * 2 + 1)
U(T) = U(4 705)
U(T) = 05

Așadar, ultimele 2 cifre ale lui T sunt 05, deci T = 100 * U + 5 = 5 * (20 * U + 1) = 5 * D. Prin urmare, D = 20 * U + 1 deci D se termină cu 1.

Rezultat

Introducându-l pe D în formula anterioară avem:

  • ultimele 3 cifre ale lui S sunt 000;
  • 18*A*B*C se termină cu 8;
  • 1811*D*E*F se termină cu 1.

Prin urmare, ultimele 4 cifre ale lui S sunt 8000.

Verificare

Pentru cei care cred mai mult în calcule decât în raționamente (și pentru că trăim într-o epocă în care preferăm să nu mai gândim ci să dăm repede fuga la Google ca să aflăm lucruri simple), Wolfram Alpha poate furniza atât rezultatul calculat aici cât și valoarea exactă a lui S.

Comments