Problemă (de clasa a VI-a)

Să se afle ultimele 4 cifre ale numărului:

Soluție

Problemele de acest gen, în care se cere ultima cifră a unui număr mare, se rezolvă de obicei observând cum evoluează ultima cifră a puterilor consecutive ale numerelor implicate în relație. Să calculăm primele câteva puteri ale lui și să vedem cum evoluează ultima lor cifră.

91 =      9
92 =     81
93 =    729
94 =  6 561
95 = 59 049
...

Observăm că pentru valorile pare ale lui , ultima cifră a lui este iar pentru cele impare ultima cifră este . Să reținem acest aspect, ne va folosi mai târziu.

Suma noastră conține 200 de termeni de forma cu impar și încă 200 de termeni cu par, ultima cifră a lui este în mod evident . Din păcate, asta e cam tot ce putem afla pe această cale.

Altă abordare

Să încercăm să-l descompunem pe în factori:

Folosind (de 4 ori) formula îl descompunem pe astfel:

Pe îl scriem ca și îl descompunem ca , folosind formula

valabilă doar pentru natural impar, .

Similar, pe îl scriem ca:
,

folosind formula:

valabilă pentru orice natural, .

Aplicând formula încă o dată pentru obținem:

Substituim expresiile calculate pentru și în formula lui , simplificăm cu avem:

Să luăm factorii pe rând și să le calculăm ultima cifră:

1. - ultima lui cifră este, evident, .
2. , și - se termină cu cifra deoarece la putere pară se termină cu după cum am văzut la începutul discuției.
   Îi putem scrie ca , și unde , și se termină cu sau (singurele numere de o cifră care înmulțite cu produc rezultate terminate în ).
3. .
4. - să notăm acest factor cu .
   Are ultima cifră deci este divizibil cu .
   Se poate scrie ca și deocamdată nu știm nimic despre .
5. și - îi vom nota cu și .
   Ambii au ultima cifră ().

Îl rescriem pe folosind notațiile introduse mai sus:

Grupăm convenabil factorii:

Să analizăm factorii lui din noua descompunere:

1. - este divizibil cu , deci ultimele sale 3 cifre sunt ;
2. - , și se termină cu sau , produsul lor se va termina tot cu (când toți trei se termină cu ) sau cu (altfel).
   
   
   Ultima cifră a acestui factor este .
3. - și se termină cu ; ultima cifră a acestui factor este .
4. - Am notat mai sus ; va trebui să calculăm ultimele 2 cifre ale lui pentru a afla ultima cifră a lui .

Ultimele două cifre ale lui

Încercăm să-l aducem pe la o formă în care să-i putem calcula ușor ultimele două cifre folosind tabelul de puteri ale lui de la începutul textului.

Fie și două numere de cel puțin 2 cifre. Dacă notăm cu și numerele formate de ultimele două cifre ale lui și respectiv atunci ultimele două cifre ale produsului sunt și ultimele două cifre ale lui (demonstația este evidentă).

Știm că . Folosim ultimele sale două cifre () pentru a calcula ultimele două cifre ale lui . Să notăm cu numărul format de ultimele două cifre ale lui .

Așadar, ultimele 2 cifre ale lui sunt , deci
Prin urmare, , deci se termină cu .

Rezultat

Introducându-l pe în formula anterioară avem:

• ultimele 3 cifre ale lui sunt ;
  
• se termină cu ;
  
• se termină cu .
  

Prin urmare, ultimele 4 cifre ale lui sunt .

Verificare

Pentru cei care cred mai mult în calcule decât în raționamente (și pentru că trăim într-o epocă în care preferăm să nu mai gândim ci să dăm repede fuga la Google ca să aflăm lucruri simple), Wolfram Alpha poate furniza atât rezultatul calculat aici cât și valoarea exactă a lui .